Bab Pertidaksamaan Matematika SMA dan SMK Terlengkap

MATEMATIKA matematika-sbm Matematika-un matematika-un smk

      Artikel ini membahas Bab Pertidaksamaan pada pelajaran matematika atau kalkulus (bagi yang kuliah). Materi yang dibahas disini untuk SMA IPA/IPS dan SMK yang mau mempersiapkan Ujian Nasional atau SBMPTN dan tes masuk perguruan tinggi negeri. 

      Di artikel ini pertama akan dibahas materi beserta rumus cara cepat perhitungan soal pertidaksamaan, dilanjut dengan latihan soal dasar beserta pembahasannya, dan yang terakhir latihan soal tingkat ujian nasional dan soal tes masuk perguruan tinggi beserta pembahasannya secara detail dan lengkap juga.

Baca juga : Fungsi Kuadrat Dan Contoh Soal Pembahasan Lengkap Untuk SMA IPA, IPS dan SMK

Yap tanpa basa basi langsung saja kita bahas.

A. Sifat-sifat Pertidaksamaan
Berikut adalah sifat-sifat umum operasi pertidaksamaan. Untuk a,b,c,d  ∈ bilangan real maka berlaku:
1.  a > b, c > d maka a + c > b + d
2.  a > b, b > c maka a > c
3.  a > b maka a + c > b + c
4.  a > b, c < 0 maka ac < bc
5.  a > b, c > 0 maka ac > bc
6.  (a/b) > 0 maka a dan b > 0 atau a dan b < 0
7.  a > b, a > 0, b > 0 maka a² > b² a > b, a < 0, b < 0 maka a² < b²

B. Sifat Harga Mutlak
Berikut adalah sifat-sifat umum harga mutlak yang perlu di pahami.
1.  Nilai |x| mempunyai 2 nilai, yaitu :
     - x, untuk x < 0
     x , untuk x ≥ 0
 
2.  |x| ≤ a ⇔ - a ≤ x ≤ a, a > 0
3.  |x| > a ⇔ x < -a atau x > a, a > 0

C. Sifat Akar

D. Menentukan Garis Bilangan
1.  Jadikan soal dalam bentuk pemfaktoran(bisa di abaikan jika sudah dalam bentuk faktor).
2.  Menentukan pembuat nol-nya, dan masukan ke garis bilangan.
3.  Tanda koefisien pangkat tertinggi sama dengan tanda pada ruas yang paling kanan.
4.  Genap - Tetap, artinya pangkat genap sama tanda.
5.  Pangkat ganjil berlawanan tanda.

E. Menentukan Bulatan Pada Gambar Bilangan
Cara menentukan bulat penuh atau bulat tidak penuh pada pertidaksamaan :
1. Jika tandanya < atau > (yg tidak pakai sama dengan) maka bulat tidak penuh (bulat terbuka)

2. Jika tandanya ≤ atau ≥ (yg pakai sama dengan) maka bulat penuh (bulat tertutup)

Contoh soal dasar pertidaksamaan
1.  Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (x - 3)(x - 4)(x + 2) < 0

Pembahasan :
Pembuat nol nya :
(x - 3) = 0  , pindah ke ruas kanan angka -3 nya :  x = 3
(x - 4) = 0 , pindah ke ruas kanan angka -4 nya :  x = 4
(x + 2) = 0,  pindah ke ruas kanan angka 2 nya :  x = -2

Kemudian gambar garis bilangan
karena pangkat tertingginya + (positif) maka ruas paling kanan kita kasih positif (+)

Kita tentukan tanda positif atau negatif diantara angka 3 dan 4. Cara nya, misalnya kita ambil angka 3,5 (angka yg berada di tengah-tengah 3 dan 4).
x = 3,5
Kemudian kita masukan pada rumus  (x - 3)(x - 4)(x + 2) < 0
(3,5 - 3) (3,5 - 4)(3,5 + 2) < 0
(0,5)(-0,5)(5,5) < 0
-1,375 < 0
Maka di dapatkan hasil nya -1,375. Karena tandanya negatif maka kita taruh tanda negatif di antara bilangan 3 dan 4.

Selanjutnya kita tentukan juga tanda diantara bilangan -2 dan 3. Caranya, misalkan kita masukkan angka 1 (x = 1) karena angka 1 berada di antara -2 dan 3.
(x - 3)(x - 4)(x + 2) < 0
(1 - 3)(1 - 4)(1 + 2) < 0
-2 . -3 . 3 < 0
Maka di dapatkan hasilnya 18 (positif). Karena 18 adalah posiif kita letakkan tanda positif (+) diantara bilangan -2 dan 3.

Tentukan juga tanda kurang dari -2 atau di ruas paling kiri sehingga hasilnya seperti ini :

Selanjutnya kita akan menentukan gambar bulat penuh (bulat tertutup) atau bulat tidak penuh(bulat terbuka). Cara nya kita lihat pada soalnya, (x - 3)(x - 4)(x + 2) < 0
Di soal tandanya kan < maka bulat tidak penuh.

Cara menentukan bulat penuh atau bulat tidak penuh pada pertidaksamaan :
1. Jika tandanya < atau > (yg tidak pakai sama dengan) maka bulat tidak penuh (bulat terbuka)
2. Jika tandanya ≤ atau ≥ (yg pakai sama dengan) maka bulat penuh (bulat tertutup)

Maka hasilnya akan seperti ini :

Selanjutnya kita tentukan daerah himpunan penyelesaiannya :
Kita lihat soalnya kembali, (x - 3)(x - 4)(x + 2) < 0
Karena yang di minta < (kurang dari) maka kita akan kotakin yang tandanya negatif ( - )

Jadi dari gambar tersebut(daerah yang dikotakkin) didapatkan himpunan penyelesaiannya adalah :
HP = {x < -2 atau 3 < x < 4}

2.  Himpunan penyelesaian dari 
     x² - 10x + 21 < 0, x ∈ R  adalah ...
Pembahasan :
Himpunan penyelesaian dari
x² - 10x + 21 < 0
Maka dari soal tersebut kita faktorkan terlebih dahulu :
x² - 10x + 21 = 0
(x - 7)(x - 3) = 0
x = 7 dan x = 3
Selanjutnya kita tentukan gambar bilangannya :
Cara menentukan gambar garis bilangan terdapat pada soal nomor 1 ya gan untuk lengkapnya.

Jadi, himpunan penyelesaiannya :
x diantara 3 dan 7, sehingga
HP = {x | 3 < x < 7; x ∈ R}

Baca juga : Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2018 Lengkap


3.  Semua bilangan positif x yang memenuhi pertidaksanaan

Pembahasan: 
Hilangkan akar dengan di pangkatkan 2 ruas kiri dan kanan:
x < (2x)²
x < 4x²
x - 4x² < 0
x(1 - 4x) < 0     ..... (i)  
x = 0 dan x = 1/4
Gambar baris bilangan :
- Bulat tidak penuh karena tandanya < (tidak memakai sama dengan)
Dengan begitu gambar nya :

Untuk mengetahui tanda pada ruas paling kanan atau lebih dari (1/4) maka kita masukkan bilangan yang lebih besar dari 1/4 , misalnya kita masukkan x = 1.
x (1 - 4x) < 0
1.(1 - 4(1)) < 0
1.(-3) < 0
-3 < 0
Maka diperoleh hasilnya -3, karena -3 adalah negatif (-) maka kita kasih tanda (-) pada ruas paling kanan, sehingga :

Kemudian lanjutkan untuk mencari tanda diantara 0 dan 1/4 serta tanda kurang dari 0 dengan cara seperti diatas.
Untuk lebih jelasnya silakan agan lihat soal nomor 1 jika masih bingung, karena di bahas lengkap.

Setelah dicari semua akan diperoleh hasil :

Karena dari soal yang sudah di faktorkan diatas (i) ,  x(1 - 4x) < 0
tandanya adalah kurang dari ( < )
maka yang kita sorot atau di kotak adalah tanda negatifnya pada gambar :

Jadi, semua bilangan positif x yang memenuhi adalah

Latihan Soal Dan Pembahasan Lanjutan :
1.  Bentuk yang setara (ekivalen) dengan
     |4x - 5| < 13 adalah ...
Pembahasan :

Ingat sifat harga mutlak :
|a| < b
-b < a < b

Diketahui :
|4x - 5| < 13
-13 < 4x - 5 < 13
-13 + 5 < 4x < 13 + 5
-8 < 4x < 18

2.   Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan dibawah adalah ...

Pembahasan :
Pertidaksamaan:

...... (i)

Sehingga di peroleh batas-batasnya adalah
x = -1 dan x = 0.

Dari hasil pemfaktoran dan penyederhanaan .... (i) diatas
dapat diketahui nilai yang memenuhi :

HP = {-1 < x < 0}

3. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 5^2x - 6.5 ^{x + 1} + 125 < 0 , x ∈ R adalah ...
Pembahasan:
Soal ini menyangkut materi Bab Eksponen Juga, jika belum paham terhadap materi tersebut
silakan baca : Materi Eksponen Matematika Lengkap

Sifat eksponen yang diperlukan :
5^{x + 1} = 5^x . 5

Pengerjaannya :
→   5^2x - 6.5 ^{x + 1} + 125 < 0
→   5^2x - 6.5 ^x. 5 + 125 < 0
→   5^2x - 30.5 ^x + 125 < 0  ... (i)

Misal :  5^x = p dan diasumsikan sebagai persamaan :
p² - 30p + 125 = 0
(p - 25)(p - 5) = 0
p = 25 dan p = 5

Untuk p = 25
→  5^x = 25 → x = 2
Untuk p = 5
→  5^x = 5  → x = 1

Maka didapatkan nilai yang memenuhi pertidaksamaan (i)  adalah ...

HP = {1 < x < 2}
*Penjelasan yang lengkap cara menentukan gambar garis bilangan berada di soal dasar nomor 1 gan

4. Soal UN

, Himpunan penyelesaian pertidaksamaan dari soal disamping adalah ...

Pembahasan : 
Difaktorkan dahulu :

Maka akan didapatkan batas-batasnya dari hasil diatas :
x₁ = -3
x₂ = 2

Karena letak x₃ dan  x₄ dibawah atau sebagai penyebut maka keduanya tidak sama dengan dan dengan begitu pada gambar garis bilangannya tidak bulat penuh (bulat terbuka):
x₃ ≠ -1
x₄ ≠ 3
Sehingga daerah penyelesaian dari pertidaksamaan (i) adalah :

HP = { x ≤ -3 atau -1 < x ≤ 2 atau x > 3 }

Bagikan

Jangan lewatkan

Bab Pertidaksamaan Matematika SMA dan SMK Terlengkap

4/ 5

Oleh Bayu Ambika

July 29, 2018 Komentar