Matematika Bab Lingkaran Untuk SMA/SMK

matematika-sbm Matematika-un matematika-un smk

Assalamualaikum wr wb, di artikel kali ini saya akan membahas bab lingkaran pada pelajaran matematika baik untuk SMA IPA/IPS atau SMK. Di materinya akan diberikan rumus-rumus lengkapnya, sedangkan disoal nya saya akan membahasnya dengan jelas. Yah cara ini yang paling efisien dalam belajar matematika. 

Di artikel ini saya lebih dulu akan berikan definisi beserta rumus-rumusnya, kemudian akan dilanjut soal dan pembahasan dari dasar hingga ke tingkat ujian masuk PTN. Langsung saja menuju materinya.

Baca juga :  Logaritma Matematika Berserta Contoh Soal Dan Pembahasan

Definisi dari lingkaran adalah tempat kedudukan atau himpunan semua titik yang berjarak sama (r) terhadap sebuah titik (Misalkan titik O). Titik O disebut titik pusat dan r disebut jari-jari (radius). Adapun rumus-rumusnya :

A. Persamaan Lingkaran

• Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari r.

• Persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r.

• Bentuk umum persamaan lingkaran

Syarat:
Koefisien x² dan y² harus sama dan tidak sama dengan nol.

Persamaan tersebut mempunyai:

B. Posisi Titik Terhadap Lingkaran
Diketahui sebuah lingkaran dengan persamaan L: x² + y² + 2ax + 2by + c = 0 dan sebuah titik 
A(x₁, y₁). Kedudukan titik A(x₁, y₁) terhadap lingkaran L adalah Kp =  x₁² + y₁² + 2ax₁ + 2by₁ + c
Keterangan :
-   Jika Kp > 0 maka titik A(x₁, y₁) berada di luar lingkaran
-   Kp < 0 maka titik A(x₁, y₁) berada di dalam lingkaran
-   Kp = 0 maka titik A(x₁, y₁) berada pada lingkaran

Jika dibuat garis singgung pada lingkaran yang melalui  A(x₁, y₁), maka jarak dari titik
A(x₁, y₁) ke titik singgungnya adalah

dengan A(x₁, y₁) berada di luar lingkaran.

C. Hubungan Garis Dengan Lingkaran
Diberikan garis g: y = mx + n dan lingkaran :
L ≡ x² + y² = r² hubungan antara garis g dan lingkaran L dapat diselidiki dengan cara mensubstitusikan garis g ke L.
L ≡ x² + y² = r²  dan  g ≡ y = mx + n
       x² + (mx + n)² - r² = 0
       x² + m²x² + 2mnx + n² - r² = 0
       (1 + m²)² + m²x² + 2mnx + n² - r² = 0
Persamaan di atas merupakan persamaan kuadrat dengan diskriminan:

D = 4m²r² - 4n² + 4r²

Selanjutnya, ada 3 kemungkinan yang terjadi , yaitu :
1.  D > 0 maka garis memotong lingkaran pada dua titik
2.  D = 0 maka garis memotong lingkaran pada satu titik (garis menyinggung lingkaran)
3.  D < 0 maka garis tidak menyinggung lingkaran

D. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Ada beberapa cara untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran :
1.  Persamaan garis singgung di titik P(x₁, y₁)
    

Jari-jari ⊥ garis g, artinya m₁ . m₂ = -1 sehingga diperoleh : 

2.  Persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = r² di titik (x₁, y₁)

Rumus :

x₁ x + y₁ y = r²

3.  Persamaan garis singgung di titik P(x₁, y₁) pada lingkaran :

x² + y² + 2ax + 2by + c = 0
Rumus:

x₁ x + y₁ y + a(x₁ + x) + b(y₁ + y) + c = 0  

4.  Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran yang berpusat 
     di titik o(0, 0)  dan jari-jari r.

Rumus :

5.  Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran : (x - a)² + (y - b)² = r²
     Rumus : 

     Menentukan jari-jari (r).
  

     
 Soal Dan Pembahasan Dasar :
1.  Persamaan lingkaran yang berpusat di (3, 4) dan berjari-jari 6 adalah ...
Pembahasan :
Jika berpusat di (3, 4) dan berjari-jari 6, maka kita akan menggunakan rumus persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r, yaitu rumusnya :
(x - a)² + (y - b)² = r²

Dengan begitu didapatkan a = 3 dan b = 4 serta r = 6. 
(x - a)² + (y - b)² = r² 
(x - 3)² + (y - 4)² = 6² 
x² - 6x + 9 + y² - 8y + 16 = 36
x² + y² - 6x - 8y + 9 + 16 - 36 = 0
x² + y² - 6x - 8y - 11 = 0 

2.  Persamaan lingkaran berpusat di titik (2, 3) dan melalui titik (5, -1) adalah ... 
Pembahasan:
Jika berpusat di (2, 3) dan berjari-jari belum diketahui serta melalui titik (5, -1), maka kita akan menggunakan rumus persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r, yaitu rumusnya :
(x - a)² + (y - b)² = r²
Dengan begitu didapatkan a = 2 dan b = 3 serta x = 5 dan y = -1. 
(x - 2)² + (y - 3)² = r²
(5 - 2)² + (-1 - 3)² = r²
3² + (-4)² = r²
25 = r²
r = 5 atau r = -5
Karena r adalah panjang maka kita ambil yang bernilai positif (r = 5).
Sehingga persamaan lingkarannya adalah :
(x - 2)² + (y - 3)² = r²
(x - 2)² + (y - 3)² = 5²
x² - 4x + 4 + y² - 6y + 9 = 25
x² + y² - 4x - 6y + 4 + 9 - 25 = 0
x² + y² - 4x - 6y - 12 = 0

3.  Pusat dan jari-jari lingkaran 
      x² + y² - 2x + 6y + 1 = 0    adalah ...
Pembahasan:
Dari persamaan lingkaran 
x² + y² - 2x + 6y + 1 = 0
diperoleh A = -2 , B = 6, dan C = 1
- Pusat :

- Jari-jari 

Jadi, lingkaran berpusat di (1, -3) dan memiliki jari-jari 3.


4.  Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0
     di titik (7, 1) adalah ...
Pembahasan:
Sesuai rumus persamaan garis singgung di titik P(x₁, y₁) pada lingkaran diatas, yaitu :
x₁x + y₁y + a(x₁ + x) + b(y₁ + y) + c = 0  
Sehingga dapat diketahui x₁ = 7 dan y₁ = 1.
Masukkan ke dalam rumus :
x₁ x + y₁ y + a(x₁ + x) + b(y₁ + y) + c = 0
x₁ x + y₁ y - (1/2).6.(x₁ + x) + (1/2).4.(y₁ + y) - 12 = 0

x₁ x + y₁ y - 3 (x₁ + x) + 2 (y₁ + y) - 12 = 0
7x + y - 3 (7 + x) + 2 (1 + y) - 12 = 0
7x + y - 3x  - 21 + 2y + 2 - 12 = 0 
4x + 3y - 31 = 0  

5.  Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + 6x - 4y - 7 = 0 yang 
     tegak lurus dengan garis   y = 7 - 2x   adalah ... 
Pembahasan:
Diketahui :   
x² + y² + 6x - 4y - 7 = 0
Langkah pertama cari terlebih dahulu pusat dan jari-jari lingkaran :

Langkah kedua mencari persamaan lingkaran lain :
(x - a)² + (y - b)² = r²
(x + 3)² + (y - 2)² = 20
Persamaan garis singgungnya tegak lurus dengan garis y = 7 - 2x  .
Dari persamaan garis tersebut dapat diketahui gradiennya m₁ = -2 

Gradien garis singgungnya :

Sehingga persamaan garis singgung lingkaran (x + 3)² + (y - 2)² = 20 dengan gradien (1/2) adalah :

 

Jadi persamaan garis singgungnya :
1.     x - 2y + 7 + 10 = 0
        x - 2y + 17 = 0

2.    x - 2y + 7 - 10 = 0
       x - 2y - 3 = 0

Bagikan

Jangan lewatkan

Matematika Bab Lingkaran Untuk SMA/SMK

4/ 5

Oleh Bayu Ambika

August 03, 2018 1 Komentar