Matematika Bab Lingkaran Untuk SMA/SMK

matematika-sbm Matematika-un matematika-un smk

Matematika Bab Lingkaran Untuk SMA/SMK

August 03, 2018 1 Komentar

Assalamualaikum wr wb, di artikel kali ini saya akan membahas bab lingkaran pada pelajaran matematika baik untuk SMA IPA/IPS atau SMK. Di materinya akan diberikan rumus-rumus lengkapnya, sedangkan disoal nya saya akan membahasnya dengan jelas. Yah cara ini yang paling efisien dalam belajar matematika. 

Di artikel ini saya lebih dulu akan berikan definisi beserta rumus-rumusnya, kemudian akan dilanjut soal dan pembahasan dari dasar hingga ke tingkat ujian masuk PTN. Langsung saja menuju materinya.

Baca juga :  Logaritma Matematika Berserta Contoh Soal Dan Pembahasan

Definisi dari lingkaran adalah tempat kedudukan atau himpunan semua titik yang berjarak sama (r) terhadap sebuah titik (Misalkan titik O). Titik O disebut titik pusat dan r disebut jari-jari (radius). Adapun rumus-rumusnya :

A. Persamaan Lingkaran

• Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari r.

• Persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r.

• Bentuk umum persamaan lingkaran

Syarat:
Koefisien x² dan y² harus sama dan tidak sama dengan nol.

Persamaan tersebut mempunyai:

B. Posisi Titik Terhadap Lingkaran
Diketahui sebuah lingkaran dengan persamaan L: x² + y² + 2ax + 2by + c = 0 dan sebuah titik 
A(x₁, y₁). Kedudukan titik A(x₁, y₁) terhadap lingkaran L adalah Kp =  x₁² + y₁² + 2ax₁ + 2by₁ + c
Keterangan :
-   Jika Kp > 0 maka titik A(x₁, y₁) berada di luar lingkaran
-   Kp < 0 maka titik A(x₁, y₁) berada di dalam lingkaran
-   Kp = 0 maka titik A(x₁, y₁) berada pada lingkaran

Jika dibuat garis singgung pada lingkaran yang melalui  A(x₁, y₁), maka jarak dari titik
A(x₁, y₁) ke titik singgungnya adalah

dengan A(x₁, y₁) berada di luar lingkaran.

C. Hubungan Garis Dengan Lingkaran
Diberikan garis g: y = mx + n dan lingkaran :
L ≡ x² + y² = r² hubungan antara garis g dan lingkaran L dapat diselidiki dengan cara mensubstitusikan garis g ke L.
L ≡ x² + y² = r²  dan  g ≡ y = mx + n
       x² + (mx + n)² - r² = 0
       x² + m²x² + 2mnx + n² - r² = 0
       (1 + m²)² + m²x² + 2mnx + n² - r² = 0
Persamaan di atas merupakan persamaan kuadrat dengan diskriminan:

D = 4m²r² - 4n² + 4r²

Selanjutnya, ada 3 kemungkinan yang terjadi , yaitu :
1.  D > 0 maka garis memotong lingkaran pada dua titik
2.  D = 0 maka garis memotong lingkaran pada satu titik (garis menyinggung lingkaran)
3.  D < 0 maka garis tidak menyinggung lingkaran

D. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Ada beberapa cara untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran :
1.  Persamaan garis singgung di titik P(x₁, y₁)
    

Jari-jari ⊥ garis g, artinya m₁ . m₂ = -1 sehingga diperoleh : 

2.  Persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = r² di titik (x₁, y₁)

Rumus :

x₁ x + y₁ y = r²

3.  Persamaan garis singgung di titik P(x₁, y₁) pada lingkaran :

x² + y² + 2ax + 2by + c = 0
Rumus:

x₁ x + y₁ y + a(x₁ + x) + b(y₁ + y) + c = 0  

4.  Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran yang berpusat 
     di titik o(0, 0)  dan jari-jari r.

Rumus :

5.  Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran : (x - a)² + (y - b)² = r²
     Rumus : 

     Menentukan jari-jari (r).
  

     
 Soal Dan Pembahasan Dasar :
1.  Persamaan lingkaran yang berpusat di (3, 4) dan berjari-jari 6 adalah ...
Pembahasan :
Jika berpusat di (3, 4) dan berjari-jari 6, maka kita akan menggunakan rumus persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r, yaitu rumusnya :
(x - a)² + (y - b)² = r²

Dengan begitu didapatkan a = 3 dan b = 4 serta r = 6. 
(x - a)² + (y - b)² = r² 
(x - 3)² + (y - 4)² = 6² 
x² - 6x + 9 + y² - 8y + 16 = 36
x² + y² - 6x - 8y + 9 + 16 - 36 = 0
x² + y² - 6x - 8y - 11 = 0 

2.  Persamaan lingkaran berpusat di titik (2, 3) dan melalui titik (5, -1) adalah ... 
Pembahasan:
Jika berpusat di (2, 3) dan berjari-jari belum diketahui serta melalui titik (5, -1), maka kita akan menggunakan rumus persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r, yaitu rumusnya :
(x - a)² + (y - b)² = r²
Dengan begitu didapatkan a = 2 dan b = 3 serta x = 5 dan y = -1. 
(x - 2)² + (y - 3)² = r²
(5 - 2)² + (-1 - 3)² = r²
3² + (-4)² = r²
25 = r²
r = 5 atau r = -5
Karena r adalah panjang maka kita ambil yang bernilai positif (r = 5).
Sehingga persamaan lingkarannya adalah :
(x - 2)² + (y - 3)² = r²
(x - 2)² + (y - 3)² = 5²
x² - 4x + 4 + y² - 6y + 9 = 25
x² + y² - 4x - 6y + 4 + 9 - 25 = 0
x² + y² - 4x - 6y - 12 = 0

3.  Pusat dan jari-jari lingkaran 
      x² + y² - 2x + 6y + 1 = 0    adalah ...
Pembahasan:
Dari persamaan lingkaran 
x² + y² - 2x + 6y + 1 = 0
diperoleh A = -2 , B = 6, dan C = 1
- Pusat :

- Jari-jari 

Jadi, lingkaran berpusat di (1, -3) dan memiliki jari-jari 3.


4.  Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0
     di titik (7, 1) adalah ...
Pembahasan:
Sesuai rumus persamaan garis singgung di titik P(x₁, y₁) pada lingkaran diatas, yaitu :
x₁x + y₁y + a(x₁ + x) + b(y₁ + y) + c = 0  
Sehingga dapat diketahui x₁ = 7 dan y₁ = 1.
Masukkan ke dalam rumus :
x₁ x + y₁ y + a(x₁ + x) + b(y₁ + y) + c = 0
x₁ x + y₁ y - (1/2).6.(x₁ + x) + (1/2).4.(y₁ + y) - 12 = 0

x₁ x + y₁ y - 3 (x₁ + x) + 2 (y₁ + y) - 12 = 0
7x + y - 3 (7 + x) + 2 (1 + y) - 12 = 0
7x + y - 3x  - 21 + 2y + 2 - 12 = 0 
4x + 3y - 31 = 0  

5.  Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + 6x - 4y - 7 = 0 yang 
     tegak lurus dengan garis   y = 7 - 2x   adalah ... 
Pembahasan:
Diketahui :   
x² + y² + 6x - 4y - 7 = 0
Langkah pertama cari terlebih dahulu pusat dan jari-jari lingkaran :

Langkah kedua mencari persamaan lingkaran lain :
(x - a)² + (y - b)² = r²
(x + 3)² + (y - 2)² = 20
Persamaan garis singgungnya tegak lurus dengan garis y = 7 - 2x  .
Dari persamaan garis tersebut dapat diketahui gradiennya m₁ = -2 

Gradien garis singgungnya :

Sehingga persamaan garis singgung lingkaran (x + 3)² + (y - 2)² = 20 dengan gradien (1/2) adalah :

 

Jadi persamaan garis singgungnya :
1.     x - 2y + 7 + 10 = 0
        x - 2y + 17 = 0

2.    x - 2y + 7 - 10 = 0
       x - 2y - 3 = 0

Baca selengkapnya

Bab Logaritma Matematika SMA/SMK

MATEMATIKA matematika-sbm Matematika-un matematika-un smk

Bab Logaritma Matematika SMA/SMK

August 01, 2018 Komentar

Assalamualaikum, selamat malam gan. Kali ini saya akan membahas bab logaritma matematika untuk SMA/SMK. Di materi ini dapat kalian jadikan referensi untuk menghadapi Ujian Nasional maupun untuk tes masuk PTN, SBMPTN, UM, dll. Di artikel ini akan di bahas pertama materi nya dulu, dilanjut latihan soal dasar, dan yang terakhir latihan soal lanjutan.

Bagi kalian yang kurang paham bab ini tidak usah khawatir, karena akan di bahas secara detail dan jelas sehingga kalian paham. Bagi kalian yang ingin paham betul (yg belum mengerti logaritma maupun yg lupa) tolong baca dan pahami dari latihan dan pembahasan soal dasar yaaa.

Baca juga : Bab Pertidaksamaan Matematika Beserta Soal Dan Pembahasan SBMPTN/UN

Yap langsung saja kita bahas materinya:

A. Pengertian Logaritma
^alog x dibaca "logaritma x dengan bilangan pokok a"
Jika ^alog b = c maka b = a^c
-    a disebut bilangan pokok, syarat a > 0 dan a ≠ 1
-    b disebut bilangan yang dilogaritakan (numerator); syarat b > 0

B. Sifat Logaritma
Sifat logaritma yang perlu diingat gan :
1.  ^alog a^c = c    , itu karena     ^alog a = 1
2.  ^alog xⁿ = n ^alog x
3.  ^alog x + ^alog y = ^alog xy

6.   x ^{xlog y} = y
7.   ^alog 1 = 0 atau ^alog a⁰ = 0
8.   ^alog x =  ^anlog xⁿ

C. Penyelesaian Logaritma
1. Bentuk umum
     ^alog f(x) =k maka f(x) = a^k
     Dengan f(x) > 0
2. Persamaan logaritma
     ^alog f(x) = ^alog g(x)  
     maka bisa di tulis :    f(x) = g(x) 
     f(x) > 0   dan g(x) > 0

Contoh Soal dasar dan pembahasannya 

1.  ²log 3 . ³log 2 = ...
Pembahasan :
²log 3 . ³log 2 = ...
langkah pertama gunakan sifat logaritma nomor ke-11 :

Maka di dapatkan :    ²log 2
Langkah selanjutnya kita gunakan sifat logaritma nomor ke-1 ( ^alog a = 1 ) :
²log 2 = 1
Jadi, diperoleh jawabannya yaitu 1

2.   ⁶log 2 + ⁶log 3 = ...
Pembahasan :
Langkah pertama gunakan sifat logaritma di atas yang nomor ke-3 :
⁶log 2 + ⁶log 3 = ⁶log 2 . 3
=  ⁶log 6
Kemudian gunakan sifat logaritma di atas yang nomor ke-1 :
 ⁶log 6 = 1
Maka diperoleh jawabannya : 1

Baca juga : Bab Fungsi Kuadrat Matematika Beserta Soal Dan Pembahasan SBMPTN/UN

3.   ³²log 81 = ...
Pembahasan :
Langkah pertama terapkan sifat logaritma di atas yang nomor ke-5 :
³²log 81 = (1/2). ³log 81
= (1/2). ³log 3⁴
Langkah kedua terapkan sifat logaritma di atas yang nomor ke-1 :
(1/2). ³log 3⁴ = 4 . (1/2) . ³log 3
= 4 . (1/2)
= 2


Contoh Soal Lanjutan Dan Pembahasan :
1.  Nilai dari ⁹log 25 . ⁵log 2 - ³log 54 = ...
Pembahasan:
⁹log 25 . ⁵log 2 - ³log 54
= ³²log 5² . ⁵log 2 - ³log 54
Terapkan sifat logaritma di atas yang nomor ke-5, menjadi :
= (1/2) . ³log 5² . ⁵log 2 - ³log 54
Terapkan sifat logaritma di atas yang nomor ke-1, menjadi :  
= 2 . (1/2) . ³log 5 . ⁵log 2 - ³log 54
= ³log 5 . ⁵log 2 - ³log 54
Terapkan sifat logaritma di atas yang nomor ke-11, menjadi :
= ³log 2 - ³log 54
Terapkan sifat logaritma di atas yang nomor ke-9, menjadi :   

2. Jika  ²⁵log 5^2x = 8  maka x = ...
Pembahasan:
²⁵log 5^2x = 8
⁵²log 5^2x = 8
Terapkan sifat logaritma di atas yang nomor ke-5, menjadi :
(1/2) . ⁵log 5^2x = 8
Terapkan sifat logaritma di atas yang nomor ke-1, menjadi :  
2x . (1/2) . ⁵log 5 = 8 
x . 1 = 8
x = 8

Baca juga : Bab Eksponen Matematika Beserta Soal Dan Pembahasan SBMPTN/UN

3. Nilai yang memenuhi dari persamaan :

Pembahasan:

Terapkan sifat logaritma ke-9 :

Ruas kiri dan kanan sama-sama terdapat  ^(1/2)log , sehingga memenuhi :

Persamaan logaritma :
^(1/2)log f(x) = ^(1/2)log g(x)
f(x) = g(x)

Dikalikan silang, menjadi :
x² - 3 = 2x
x² - 2x - 3 = 0
(x + 1)(x - 3) = 0
x = -1 atau x = 3
Maka diperoleh jawabannya x = 3


4.   Akar-akar persamaan
      ⁴log (2x² - 3x + 7) = 2 adalah x₁ dan x₂ . Nilai dari 4.x₁ .x₂ = ...
Pembahasan:
⁴log (2x² - 3x + 7) = 2
⁴log (2x² - 3x + 7) =  ⁴log 4²
2x² - 3x + 7 =   4²
2x² - 3x + 7 =   16
2x² - 3x + 7 - 16 = 0
2x² - 3x - 9 = 0
(2x + 3)(x - 3) = 0

Maka diperoleh  x₁ = - (3/2) dan x₂ = 3
Jadi, nilai dari 4.x₁ .x₂ = 4 . -(3/2) . 3  =  -18

5.  Persamaan :  

     Dipenuhi oleh x = ...

Pembahasan: 
     ^{(x2 - 6x + 14)} log (x - 3)  =  ^{(4x2 - 4x + 1)} log (x² - 6x + 9)
     ^{(x2 - 6x + 14)} log (x - 3)  =  ^{(2x - 1)2} log (x - 3)^{2
     (x2 - 6x + 14)} log (x - 3)  =  ^{(2x - 1)} log (x - 3)
  Karena sama-sama log (x - 3), maka dapat ditulis menjadi persamaan :
  (x² - 6x + 14) = (2x - 1)
  x² - 8x + 15 = 0
  (x - 3)(x - 5) = 0
  x = 3 atau x = 5
  Syarat domain x - 3 > 0 maka HP = {5}


Terimakasih Telah berkunjung :D

Baca selengkapnya